 |
This is read-only version of the old wiki, feel free to browse it for materials. If you want to share your own materials, please use GeoGebraTube instead. You are also welcome to help us enhance the new wiki. If any questions arise, please contact the webmaster. |
Euler
Cercle des 9 points (ou cercle d’Euler). (version analytique)
Dans un repère orthonormal on donne les points A(6,0) , B(0,6) et C(–3,0).
A’, B’ et C’ désignent les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] ;
A1 et C1 les projetés orthogonaux respectifs de A et C sur [BC] et [AB] ;
H l’orthocentre du triangle ABC ;
M1, M2 et M3 sont les milieux respectifs de [HA], [HB] et [HB] ;
Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle A’B’C’.
Vérifier que les points O, A1, C1, M1, M2 et M3 appartiennent aussi à ce cercle.
Il nous faudra les coordonnées des points A’, B’ et C’, pas de problèmes pour calculer les coordonnées d'un milieu :
A'(-1.5, 3) ; B'(1.5, 0) ; C'(3, 3)
Pour les coordonnées de A1
on a 
d'où une équation de (AA1) : -3x - 6y = -18, enfin mieux vaut écrire x + 2y - 6 = 0
et 
sont colinéaires d'où une équation de (BC) : 6x - 3y = -18, enfin mieux vaut écrire 2x - y + 6 = 0
en résolvant le système de ces 2 équations, on obtient 
), soit
A1(-1.2, 3.6)
Même démarche pour les coordonnées de C1
donne (CC1): -6x + 6y = 18
et avec (AB): 6x + 6y = 36, on a
C1(1.5, 4.5)
Pour les coordonnées de H, intersection de (AA1) : -3x - 6y = -18 et de (CC1): -6x + 6y = 18, soit
H(0, 3)
(ou plus simple (OB) est aussi une hauteur ...)
Il nous faudra les coordonnées des points M1, M2 et M3, pas de problèmes pour calculer les coordonnées de milieu :
M1(3, 1.5) ; M2(0, 4.5) ; M3(-1.5, 1.5)
Pour déterminer le cercle circonscrit à A'B'C', on va déterminer dans un premier temps son centre noté O1 comme intersection de 2 médiatrices de côtés :
soit C2(0, 1.5) le milieu de [A'B']
donne medA'B': 3x - 3y = -4.5
Soit B2(0.75, 3) le milieu de [A'C']
donne medA'C': x = 0.75
d'où O1(0.75, 2.25)
le cercle est défini par O1M2 = O1A'2 soit
CEuler: (x - 0.75)² + (y - 2.25)² = 5.625
Reste à contrôler que les coordonnées des 6 points donnés vérifient aussi cette équation, dans 5 cas les calculs sont identiques à celui de O1A'2, seul le calcul avec les coordonnées de A1 diffère on a 1.95²+1.35²
