GeoGebra

Ettpunktsformelen

1 Innledning
2 Ligningen til en linje I
3 Et lite steg videre
4 Ligningen til en linje II
5 Enda et steg
6 En påstand som må etterprøves
7 Noen ord til slutt

Innledning

Ettpunktsformelen møter elevene i videregående skole allerede tidlig på vg1. I løpet av alle årene i videregående skole har en bruk for denne formelen i mange sammenhenger, men stadig opplever en at glemselens slør har lagt seg over både formelen og anvendelsensmulighetene.

Vi kjenner stigningstallet

a

og ett punkt,

(x 1, y 1)

Ettpunktsformelen brukes oftest til å finne ligningen for en linje, og den finnes i to utgaver. Felles for begge er at vi vet stigningstallet $a$ for linjen og ett punkt $(x_1\,,y_1)$ på linjen:

$(1)\quad y-y_1=a(x-x_1) \qquad (2)\quad a=\frac{y-y_1}{x-x_1}$ .

Vi skal bruke GeoGebra når vi arbeider med stoffet, og i GeoGebra brukes en noe annen notasjon enn det som en ser i (1) og (2). I fortsettelsen tilpasser vi teksten notasjonen i GeoGebra.

Eksempel
- Åpne en Geogebrafil
- Skriv i kommandolinjen: A=(2,3) og trykker enter.
- Skriv i kommandilinjen: "xverdi=x(A)"
- Skriv i kommandolinjen: "yverdi=y(A)"
- I algebravinduet kan du nå observere: xverdi=2 og yverdi=3
- Du kan gjøre det samme om du åpner det dette dynimiske arbeidsarket [1] av Torger Nilsen

Skriver vi formelene (1) og (2) med denne notasjonen blir resultatet som følger: $(3)\quad y-y(A)=a(x-x(A)) \qquad (4)\quad a=\frac{y-y(A)}{x-x(A)}$ .

De som husker og kan bruke disse formlene, har ikke så mye å hente ved å lese videre. Fortsettelsen er ment for de som enda ikke er kommet så langt og som strever med å huske slike formler.

Ligningen til en linje I

Ligningen til en linje blir ofte uttrykt på formen:

$y=a x+b \qquad$

hvor $a$ kalles stigningstallet og $b$ konstantleddet. Ved å åpne den neste html-filen vil du kunne observere hvilken virkning det har på en linje når henholdsvis stigningstallet og konstantleddet forandres.

[2] av Torger Nilsen

I filen som du nå har arbeidet med, er verdiene til både $a$ og $b$ større eller lik null. Dette er ikke tilfeldig. Vi skal først arbeide med linjer hvor både stignigstall og konstantledd er positive. Klarer vi å finne ligningen til disse linjene, er vi kommet et langt stykke på vei. Slike forenklinger kan vi selvsagt ikke holde på med hele tiden. Senere vil vi derfor også innføre negative verdier. Når det skjer, vil vi markere det i teksten.

Et lite steg videre

Klarer vi å finnne lengden

b

ved hjelp av opplysningene som er gitt her?

I lys av observasjonene vi har gjort, kan vi omformulere problemet vårt til det å finne lengden $b$ fra Origo og til punktet der linjen vår skjærer y-aksen. Da kjenner vi både stigningstallet $a$ og konstantleddet $b$ , og dermed har vi avslørt "linjens hemmmelighet".

I det neste dynmiske arbeidsarket skal vi arbeide med å finne konstantleddet for en linje:

[3] av Torger Nilsen

Ligningen til en linje II

I vår første gjennomgang av ligningen til et linje tillot vi bare positive verdier for stigningtallet $a$ og konstantleddet $b$ for linjen på formen $y=a\cdot x\,+b\,$ . Åpne neste html-fil og observer hva som skjer når vi tillater negative verdier for konstantleddet:

[4] av Torger Nilsen

Enda et steg

Vi skal på tilsvarende måte som ovenfor finne konstantleddet til linjen i den nye situasjonen ved å sammenligne likeformede trekanter. Åpne derfor neste html-fil der vi tillater konstantleddet å være negativt mens stigningstallet a fortsatt er positivt:

[5] av Torger Nilsen

En påstand som må etterprøves

I begge sitasjonene som er undersøkt ovenfor har vi vist at vi finner konstantleddet ved uttrykket

$(5)\quad b\,=y(A)-a\cdot\, x(A)\,$ .

Det er er en besnærende å tanke at uttrykket (5) er allmengyldig, altså at vi har en regel som alltid gjelder. For å fastslå dette velger vi nå en annen strategi enn det vi gjorde ovenfor. Vi undersøker om regelen gjelder når stigningstallet $a$ er negativt og konstantleddet b er positivt. Det er da nok med ett moteksempel for å vise at regelen ikke gjelder. Prøv deg på å finne et motbevis ved å åpne neste html-fil:

[6] av Torger Nilsen.

Du kan nå ha klart å motbevise at regelen (5) alltid gjelder. I så fall må du gå tilbake til det dynamiske arket som du nettopp arbeidet med og finne andre formuleringer som kan gjelder for denne situasjonen. Klarte du det ikke, bør du også gå tilbake til det dynamiske arket og prøve å bevise regelen for denne situasjonen. Et hint i begge tilfellene vil være å bruke den stategien som allerede har brukt flere ganger, å sammenligne likeformede trekanter.

Vi har i alle tilfelle et situsjon igjen å vurdere; situasjonen når både stigningstallet $a$ og konstantleddet $b$ er negativt. Tenk nøye igjennom om det er nødvendig å foreta denne undersøkelsen eller om vi allerede vet nok. Er du i tvil, er det bare å gjennomføre undersøkelsen. Dette må du klare på egenhånd, men det vil ikke være dumt å prøve samme metode som vi nå har utprøvd med hell flere ganger.

Lykke til!

Noen ord til slutt

Har du arbeidet deg igjennom dette stoffet, vil du ha erfart at en ikke trenger å fortvile om en ikke husker "Ettpunktsregelen". Det er ikke så vanskelig å finne formelen for linjen likevel. Imidlertid kan du spare både tid og krefter ved å lære deg regelen og beherske bruken av den. I så fall er det bare å anvende litt algebra på ligningen (1) og uttrykket

$\,y\,=a\,x+(y_1-a\, x_1)$