EEM030

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Dans le plan on considère un triangle OAB rectangle en O et une droite d passant par O.
On note A' et B' les projetés orthogonaux respectifs de A et de B sur d.
Il s’agit de conjecturer puis de démontrer une propriété des cercles C de diamètre [A'B']
lorsque d  tourne autour de O.



Image:ggb.gifle fichier ggb

Image:htm.gifen ligne



Pour l'utilisation de GeoGebra, la projection orthogonale n'est pas implémentée, il faudra construire les projetés "à la main".

Pour une première approche, ayant activé la trace du centre D du cercle de diamètre [A'B'], on pourra constater que l'on obtient un cercle passant par O, et la construction de O', milieu de [AB], nous permettra de conjecturer que ce cercle passe aussi par O'.

Enfin c'est une hypothèse de travail ...

Si la droite est construire à la volée, on ne pourra définir le lieu de D.



Appelons I le milieu de [OO'], notre conjecture s'écrit ID = \frac{OO'}{2}

Relation de Chasles et définition des milieux nous donnent :

\vec{ID} = \vec{OD} - \vec{OI} = \frac{\vec{OA'}+\vec{OB'}}{2} - \frac{\vec{OD'}}{2} = \frac{\vec{OA'}+\vec{OB'}}{2} -\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{4}

soit ID^2 = (\frac{\vec{OA'}+\vec{OB'}}{2} )^2 + (\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{4})^2 - 2 \frac{(\vec{OA'}+\vec{OB'})(\vec{OA}+\vec{OB})}{8}

en développant, et avec les propriétés du produit scalaire :

\vec{OA'}^2=\vec{OA} \cdot \vec{OA'}

\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0

\vec{OA'} \cdot \vec{OB} = \vec{OA'} \cdot \vec{OB'}

il reste ID^2 = \frac{\vec{OA}^2+\vec{OB}^2}{16}= \frac{AB^2}{16} = \frac{OO'^2}{4}


Image:htm.gif pour les profs curieux


[edit]

Déclinaison Janvier 2007

Image:pdf.gifla fiche élève en pdf


Image:htm.gifen ligne

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