Deux triangles variables
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Référence : Exercice 102 p 61 du manuel d'A. ANTIBI, chez Nathan 2006 ( ISBN 2 09 172650 )
Introduction
Sujet
Thèmes : Inégalités. Aires. Tracés de droites dans un repère.
On se propose de comparer les aires des triangles AEB, BEC et CED de la figure suivante lorsque le réel positif x varie.
1. a) Calculer l'aire du triangle AEB.
b) Calculer, en fonction de x, les aires des triangles BEC et CED.
2. Ranger par ordre croissant les aires de ces triangles, en discutant selon les valeurs de x.
3. a) Dans un repère orthonormal, tracer les droites d'équations y = 2, y = x + 2, et y = 3/2 x.
b) Interpréter graphiquement les résultats de la question 2.
Implémentation de la figure
Il convient d'étudier dans un premier temps la figure sur papier, afin de dégager les types de constructions à faire dans GeoGebra.
Pour cela, distinguons quatre types de points, suivant leur comportement une fois la figure terminée :
- Point libre : le point peut être déplacé librement.
- Point glissant : le point peut être déplacé, mais uniquement sur un objet (droite, cercle, ...).
- Point lié : le point est l'image d'un autre point par une transformation. On ne peut déplacer le point, à moins de déplacer le point d'origine.
- Point fixe : le point ne peut être déplacé.
Appliqué à notre contruction :
- Point libre :
- Point glissant : H, glissant sur [Ox)
- Point lié : C et D, liés à H.
- Point fixe : A B E
Nous obtenons donc l'organigramme de construction suivant :
----------------
| | | |
A B E H
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-----
| |
C D
Nous pouvons donc implémenter la figure, en prenant comme point de départ E :
E : Icône "Nouveau point" 
, point placé à la souris en coordonnées (0,0), puis renommé E.
A : Icône "Nouveau point" , point placé à la souris en coordonnées (-2,0).
B : Icône "Nouveau point" , point placé à la souris en coordonnées (-2,2).
H : Commençons pour tracer la droite (AE) : Icône "Droite passant par deux points" 
, puis positionnons H sur la droite (AE) : Icône "Nouveau point" , amenons la souris sur la droite (AE) qui passe en gras, puis cliquons et renommons le point en H.
Il est temps de vérifions que nous pouvons déplacer H, mais uniquement sur (AE) !
C : C est, par exemple, l'intersection de la perpendiculaire à l'axe des ordonnées passant par B, et de la perpendiculaire à l'axe des abscisses, passant par H. Traçons donc ces deux droites : Icône "Droite perpendiculaire" 
, cliquons sur l'axe puis le point correspondant. Icône "Nouveau point" , point placé à la souris à l'intersection des deux droites créées, qui passent en gras.
D : D est, par exemple, une des deux intersections du cercle de centre C et de rayon 3 avec la droite verticale précédemment tracée (CH) : Icône "Cercle (centre-rayon)" 
en sélectionnant le centre C, puis en indiquant le rayon égal à 3. Icône "Nouveau point" , point placé à la souris à l'intersection du cercle et de (CH), qui passent en gras.
Nous pouvons maintenant tracer les segments nécessaires : Icône "Segment entre deux points" 
, et même faire tracer le triangle BEC : Icône "Polygone" en sélectionnant les trois sommets.
Note : il existe bien sûr d'autres possibilités pour implémenter la figure : par exemple entrer dans la zone de saisie : H=Point[axeX]...
Conjecture
Il convient désormais d'observer la situation dynamique, en comparant les aires des triangles AEB, BEC et CED suivant la position de H.
Pour cela, utilisons l'icône "Polygone" 
pour créer le triangle AEB : cliquez successivement sur A, E, B puis encore une fois A pour fermer le triangle.
Dans la zone d'algèbre, sont apparus plusieurs termes, dont poly1 : l'aire de AEB. Renommons donc poly1 en AireAEB.
De même, créons les triangles BEC et CED, puis renommons pour obtenir AireBEC et AireCED.
Première conjecture
Faisons varier H, en observant les aires dans la zone d'algèbre.
Deuxième conjecture
Pour illustrer graphiquement cette première conjecture, créons au-dessus de H trois points, en utilisant la zone de saisie :
M=(x(H),AireAEB) N=(x(H),AireBEC) O=(x(H),AireCED)
Faisons de nouveau varier H : la position des points M, N et O illustrent plus visiblement les différents ordres des aires.
Troisième conjecture
Pour garder trace des différents ordres possibles, cliquons droit sur les points M, N et O, et activons leur trace. Faisons varier H de nouveau : les différentes courbes représentatives des fonctions aire des triangles apparaissent.
Nous pouvons désormais conjecturer définitivement les différents ordres des aires, suivant la position de H.
Démonstration
Il suffit maintenant de faire l'exercice lui-même par écrit. L'expression des différentes aires en fonction de x, puis la résolution d'inéquations comparant les aires deux à deux, nous permettra de confirmer par démonstration la conjecture émise d'après l'observation graphique précédente.
