0810/Modelleringsopgaven
Contents |
Beskriv sammenhængen mellem vægt og væskehøjde i et cylindrisk glas i form af en graf, en tabel og en forskrift.
Sådan gjorde vi
Opgaven blev løst på følgende måde. Vores beholder blev sat på en vægt, og herefter blev beholderen vejet ved forskellige væske højder. De aflæste resultater af højde og vægt blev indsat i en tabel i Geogebra. Tabellens værdier blev lavet til en liste af punkter, som vi lavede den bedste rette linie til punkterne, på baggrund af. På denne måde fremkom en forskrift i algebra vinduet. For en beholder der ikke er cylindrisk vil sammenhængen ikke nødvendigvis være lineær. Dette gælder bla. for væskehøjde i en sjov form
Sammenlign de forskellige repræsentationer: Hvad viser de, og hvad viser de ikke?
- Funktionsforskrift: Ud fra et funktionsudtryk kan enhver funktionsværdi beregnes. Dog giver udtrykket ikke et særlig godt overblik over funktionens forløb, som for eksempel grafen gør.
Funktionsværdien viser ikke vores flaskes reelle startvægt, da den er lavet ud fra grafen af den bedste rette linje, som vi bedte Geogebra om at tegne på baggrund af de resultater vi havde fra forsøget. I vores forsøg fik vi startvægten til at være 599g. I funktionsforskriften er vores startvægt blevet ændret til 581,63g. Vores funktionsforskrift er en ret linje. Ud fra denne er det ikke svært at aflæse hvor funktionen kommer til at skære y-aksen og hvad der er funktionens hældning. Men har man at gøre med en anden slags funktion, kan en funktionsforskrift hurtigt blive meget abstrakt og svær at gennemskue. Samtidig mener vi også at funktionsværdien er den man kan bruges til mest, Den er dog ikke så god til at stå alene, da den kan være svær at afkode. Sammen med andre repræsentationer er funktionsværdien meget effektiv.
- Tabel: funktionsværdierne kan hentes direkte uden beregning. Til gengæld kan kun et beskedent antal funktionsværdier videregives på denne måde
Tabellen viser ikke så god en sammenhæng. Vi kan for eksempel ikke ud fra tabellen være sikker på at det er en lineærfunktion. Vi kan ikke være sikre på at der ikke er ”huller” imellem de funktionsværdier vi kan aflæse da det kun er et lille udpluk af helheden.
- Graf: Fra en graf kan man aflæse uendelig mange funktionsværdier, men inde for et begrænset interval og ofte med en begrænset nøjagtighed.
Der hvor vores graf har sin skæring med y-aksen, kan vi aflæse flaskens start vægt: 581,63g. Da vi i starten af modelleringen vejede flasken uden væske fik vi den til at veje 599g. Disse to tal stemmer ikke overens da vi har bedt Geogebra om at finde den bedste rette linje, hvilket betyder at programmet tilpasser nogle af vores målinger og dermed flaskens startvægt. Der er meget forskel på om man tegner en graf i et dynamisk geometriprogram som f.eks. Geogebra, eller om man tegner grafen i hånden. I Geogebra kan man i princippet aflæse enhver funktionsværdi. Man kan blot gå ind og ændre på vinduet, så der er ingen begrænsninger på hvilke værdier man kan aflæse. Hvis grafen er tegnet i hånden, er der meget tydelige begrænsninger på hvilke funktionsværdier det er muligt at aflæse. (fra forberedelses materiale til eksamensopgave fra maj 2007)
Beskriv hvordan man oversætter mellem de forskellige repræsentationer. Er der nogen overgange der er særlig svære?
- Tabel ⇒ Graf: Her kan man aflæse et udpluk af værdier, men vi kan ikke være sikre på at der ikke er huller. Man kan aflæse en x-værdi og tilhørende y-værdi og afsætte et punkt. Flere punkter kan på denne måde indsættes og man kan lave en graf.
- Tabel ⇒ Funktionsforskrift: Man tager to punkter fra tabellen. Vi kalder det ene punkt for (x1, y1) og der andet for (x2,y2) så kan vi finde hældningen a ved at sige: (y2-y1)/(x2-x1) og derefter finde b ved at sige: y2-a*x2
- Graf ⇒ Funktionsforskrift: Ved en lineærfunktion af formen: Y=ax+b, kan man aflæse b som grafens skæring med y-aksen og a som grafens hældning.
- Graf ⇒ Tabel: Man kan aflæse en x værdi og en tilhørerne y-værdi og skrive dem ind i en tabel.
- Funktionsforskrift ⇒ Tabel: Hvis man sætter en værdi til x ind, kan man beregne y. De x og y værdier kan så indskrives i en tabel, og man kan forsætte med en ny x værdi og beregne en ny y værdi.
- Funktionsforskrift ⇒ Graf: Hvis en funktion er lineær kan man konstruere funktionsforskriften ved at udregne a ud fra to forskellige punkter i funktionen, og notere grafens skæring på y-aksen som b. Funktionsforskriften vil se sådan ud f(x)= ax+b. Denne forskrift kan så bruges til at konstruere en graf fx. ved hjælp af Geogebra eller en lommeregner og papir.
(fra Niels Nørskov Laursens artikel)
Undersøg og beskriv derefter sammenhængen mellem vægt og væskehøjde for andre, ikke-cylindriske (og gerne lidt sjove) former.
Her kan ses en sammenhæng mellem vægt og væskehøjde i en sjov form og ny bedste polynomium
