Soient A, B, C, D, E,... un nombre n, impair de points représentant les milieux d'un polygone à n côtés.
On se propose de construire celui-ci, le polygone passant par le milieu de côtés:
Placer un point F, à proximité de E et prendre son symétrique, F'. Prendre le symétrique F'' de F' par rapport à D, ainsi de suite jusqu'à F_1, symétrique de F'''' par rapport à A.
Marquer G, le millieu de FF_1 et prendre successivement les symétriques G', G''.... Par rapport à E, D...
Relier les points G, G', G''... ainsi obtenus, C'est le polygone cherché.

Cette construction ne s'applique que pour un nombre impair de points, elle est unique dans ce cas.
Pour un nombre pair de côtés, les solutions n'existent que pour une disposition des milieux particulière par exemple pour un quadrilarère, les 4 points milieux doivent former un parallélogramme et le nombre de solutions est infini.

Jean-Paul Baehler, le 13 août 2009 V1.0.0, Créé avec GeoGebra