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Einen Schrank um die Ecke bringen

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Ein 3,0m langer Schrank soll um eine 90° - Ecke transportiert werden. Die Breite der Gänge, die zur Ecke führen beträgt 1,5m bzw. 2,0m. Die Frage ist, wie breit der Schrank maximal sein darf, damit der Transport möglich ist.

Geometrische Lösung des Problems

Dem Seckseck ABCDEF (das ist der Gang) muss ein Rechteck mit Länge 3,0m und maximaler Breite einbeschrieben werden. Dazu geht man von einem beliebigen Punkt G auf der Strecke [AB] aus (sinnvollerweise ist die x-Koordinate dieses Punktes kleiner als 3,0m). I ist der Schnittpunkt des Kreises um G mit Radius 3,0m (Schranklänge). Das Rechteck GIKJ entsteht dann mit der Parallele zu GI durch D und mit zwei Loten durch G und I auf diese Parallele. Der Abstand der Parallelen GI und KJ ist dann die gesuchte Schrankbreite.

Schrank1.png

Rechnerische Lösung des Problems

Zunächst berechnet man die Gleichung der Geraden durch D, die parallel zu GI ist. Hierbei werden die Koordinaten G(t|6)verwendet.

Steigung: \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{9-t^2}}{t} (Pythagoras!)

Geradengleichung: y=\frac{\sqrt{9-t^2}}{t}(x-2)+4{,}5

Nun kann man die Hessesche Normalenform der Gerade durch D aufstellen:

Normalenvektor (Länge 3): \vec n={-\Delta y \choose \Delta x}={-\sqrt{9-t^2}\choose t}

Damit ist die HNF der Gerade g: \frac{1}{3}{-\sqrt{9-t^2}\choose t}\cdot\left[\vec x -{2 \choose 4{,}5}\right]=0

und der Abstand eines Punktes x: E(x)=\frac{1}{3}{-\sqrt{9-t^2}\choose t}\cdot\left[\vec x -{2 \choose 4{,}5}\right]

Setzt man G(t|6) ein erhält man: m(t)=\frac{1}{3}{-\sqrt{9-t^2}\choose t}\cdot\left[{t \choose 6} -{2 \choose 4{,}5}\right]

Der Graph sieht folgendermaßen aus:

Abstandsgraph.png

Das Minimum ist bei t=2,32 und m=0,957. Die Antwort auf die Frage ist also:


Der Schrank darf bei einer Länge von 3,0m also maximal 95,7 cm breit sein.

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