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Differentialrechnung

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1.1 Differenzenquotient 1.2 Steigung und Ableitung einer Funktion 1.3 Grafisches Ableiten 1.4 Tangente, Normale und Ableitung einer Funktion 1.5 Bedingungen für Extrem- und Wendestellen einer Funktion 1.6 Eigenschaften und Bedingungen von Wendestellen 1.7 Bedingungen für die Extremalstellen einer Funktionen 1.8 Bedingungen für die Extremalstellen einer Funktionen 1.9 Bestimmung von Funktionstermen 1.10 Drehrichtung und Extremstellen aus Sicht der Integration 1.11 Umkehrfunktionen und deren Ableitungen 2 Polynomfunktionen 3 Exponentialfunktion 4 Anwendungen

Einführung

Differenzenquotient

Differenzen- und Differenzialquotient
Hier wird der Differenzen- bzw. Differenzialquotient anhand einer Funktion dargestellt. Dies führt zur ersten Ableitung einer Funktion. Aus einer Sekante wird durch Bewegen des roten Punktes eine Tangente. (Erstellt von Kurt Söser)

Und hier noch eine Alternative: Ein interaktives Arbeitsblatt mit ähnlicher Funktionalität und zusätzlich konkreten Arbeitsanweisungen und Erklärungen.
Erarbeitung Differenzialquotient
Erarbeitung Differenzealqoutient (Erstellt von -- Stefan Eckert)

Steigung und Ableitung einer Funktion

Drei dynamische Arbeitsblätter zu Zusammenhängen zwischen Steigung, Ableitung und Extrempunkten einer Funktion:

Steigung und Ableitung einer Funktion, Download

Didaktischer Kommentar

Unterrichtseinheit bei Lehrer Online von Markus Hohenwarter

Grafisches Ableiten

• Die Ableitungsfunktion bei vorgegebenem Graph punktweise erzeugen: grafisches Ableiten

• Die Tangentensteigung für verschiedene Graphen punktweise erzeugen. Es kann außerdem dynamisch ein Graph und die zugehörige Funktionsgleichung erzeugt werden, auf der die entstandenen Punkte liegen (eine Bildschirmauflösung von 1280x960 wird empfohlen):

Tangentensteigung und Ableitungsfunktion

Tangentensteigung und Ableitungsfunktion (Erstellt von -- M. Schulte)

• Ableiten von Hand
  

  

  Ableiten von Hand
  Die Ableitungsfunktion von Hand versuchen zu zeichnen. Dabei muss selber versucht werden die richtige Steigung zu treffen. Es hilft eine Gerade, die die gerade verwendete Steigung verdeutlicht. Durch das Einblenden der Ableitungsfunktion kann das Ergebnis kontrolliert werden. Man kann verschiedene, vorgegebene Funktionen auswählen. Online-Variante oder Download...B. Lachner

Tangente, Normale und Ableitung einer Funktion

Das dynamische Arbeitsblatt zeigt die Zusammenhänge zwischen Tangente, Normale und Ableitung einer Funktion. Der Höhensatz des Euklid hilft dabei in anschaulicher Weise:

Tangente, Normale und erste Ableitung Tangente, Normale und erste Ableitung einer Funktion

Erstellt von Heinz Lindner

Bedingungen für Extrem- und Wendestellen einer Funktion

Anschauliche Begründung der notwendigen und hinreichenden Bedingung für Extrem- und Wendestellen.
Bedingungen für Extrem- und Wendestellen
Bedingungen für Extrem- und Wendestellen
Arbeitsblatt von Heiko Rakoczy

Eigenschaften und Bedingungen von Wendestellen

• Abfahren einer Funktion - Kurvenwechsel anhand einer Autofahrt veranschaulichen || Download
• "Erklimmen" einer Funktion - Stelle der stärksten Steigung anhand eines Bergsteigers veranschaulichen || Download

Erstellt von Tanja Messerschmidt

• Mit dem Trabbi durch die Sachsenring-S-Kurve Der Zusammenhang zwischen Wendestellen und den Ableitungen

Erstellt von Heinz Lindner

• Notwendige und hinreichende Bedingungen von Wendestellen Arbeitsblatt zur Darstellung und Herleitung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen von Wendestellen (mit Aufgabenstellungen für die selbständige Arbeit)

Erstellt von Heinz Lindner

Bedingungen für die Extremalstellen einer Funktionen

• Extrema von Funktionen - Teil 1, Download
  Hiermit kann der Zusammenhang zwischen den Extremalstellen einer Funktion und deren ersten Ableitung anschaulich erarbeitet werden.
  Dynamisches Arbeitsblatt von Manuel Ryser.

• Extrema von Funktionen - Teil 2, Download
  Hiermit kann der Zusammenhang zwischen den Extremalstellen einer Funktion und deren zweiten Ableitung anschaulich erarbeitet werden.
  Dynamisches Arbeitsblatt von Manuel Ryser.

Bedingungen für die Extremalstellen einer Funktionen

• Extremwertaufgabe - Fensterscheibe, Download

Arbeitsblatt von Christine Loos

Bestimmung von Funktionstermen

Das dynamische Arbeitsblatt zeigt am Beispiel des Brückenbogens der Waldschlösschenbrücke in Dresden, wie u.a. mit Hilfe der Differentialrechnung ein Funktionsterm einer quadratischen Funktion bestimmt werden kann.

Funktionsterm bestimmen Brückenbogenparabel bestimmen

Erstellt von Heinz Lindner

Drehrichtung und Extremstellen aus Sicht der Integration

Für eine Gerade mit veränderlicher Steigung wird über 2 Stufen das Integral gebildet. Der Zusammenhang zur Drehrichtung, Wendestellen und Extremstellen wird sichtbar gemacht.
Drehrichtung und Extremstellen
Arbeitsblatt von --Rami 09:16, 28. Nov 2005 (CET) Raymond Ami

Umkehrfunktionen und deren Ableitungen

Die Ableitungsregel für die Ableitung der Umkehrfunktion wird visualisert. Der Graph einer Funktion, ein auf dem Graphen bewegbarer Punkt sowie die dort anliegende Tangente samt Steigungsdreieck werden an der Ersten Winkelhalbierenden gespiegelt. Die Funktion kann umdefiniert werden.
Umkehrfunktionen und deren Ableitungen, Download
Dynamisches Arbeitsblatt von Jens Münker

Polynomfunktionen

• Polynomfunktion 2. Grades, Download
  Nullstellen und lokales Extremum der Parabel f(x) = a x² + b x + c. Arbeitsblätter mit Schiebereglern von Markus Hohenwarter

• Polynomfunktion 3. Grades, Download
  Nullstellen und lokales Extremum der Parabel f(x) = a x² + b x + c. Arbeitsblätter mit Schiebereglern von Markus Hohenwarter

• Polynomfunktion editierbar, Download
  Vollständige Kurvendiskussion einer Polynomfunktion (bis Grad 4) von Kurt Söser

Exponentialfunktion

• Exponentialfunktion, Download
  Vollständige Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion von Kurt Söser

Anwendungen

•   Taylorreihen und Taylorpolynome
  Umfangreiche Lernumgebung von Andreas Lindner
• Animation Taylorpolynom (Erstellt von -- M. Schulte)

• Die Kettenlinie
  Umfangreiche Lernumgebung von Andreas Lindner

• Minimalabstand Punkt-Parabel
  Dynamische Visualisierung des Minimalabstandes eines Punktes von der Parabel f(x) = x² von Markus Hohenwarter

• Krümmung und Krümmungskreis Download
  Krümmung und Krümmungskreis einer Funktion in kartesischen Koordinaten
  Dynamisches Arbeitsblatt von Andreas Lindner

• Taylorpolynome, Download
  Veranschaulichung der Ordnung n und der Entwicklungsstelle x₀ eines Taylorpolynoms.
  Dynamisches Arbeitsblatt von Manuel Ryser.

• KostenfunktionenDiese Anwendung dient zur Erstellung von Kostenfunktionen (Gesamt-, Grenz- und Stückkosten) für den Unterricht. Durch Wegschalten bzw. Verschieben kann das Blatt individuell gestaltet werden.

• Taylorpolynome: Abweichungen des Näherungswertes
  Innerhalb einer ε-Umgebung weichen Funktionswert und Näherungswert nur gering voneinander ab.
  Taylorpolynome mit einstellbarer ε-Umgebung, Download
  Verbesserte Version: Taylorpolynome mit einstellbarer Abweichung, Download
  Dynamische Arbeitsblätter von Andreas Lindner

• Newtonverfahren in der Rentenrechnung
  Newtonverfahren zur Renditeberechnung bei konstanten, periodischen (jährlichen) Zahlungen (Renten) von Heinz Lindner

• Newtonverfahren, Download.
  Vier dynamische Arbeitsblätter zur Veranschaulichung des Newtonverfahrens und seiner Nachteile und Grenzen von Hans-Peter Wrobel

• Animation Newtonverfahren (Erstellt von -- M. Schulte)

• Extremwertaufgabe Extremwertproblem: Maximale Streckenlänge, die aus einer Tangente durch y-Achse und schiefe Asymptote einer Kurvenschar ausgeschnitten wird. Abitur LK B/W 1990 I/1, Teil c). von Martin Resch.

• Schmidtlinse Kurvendiskussion: Der Strahlengang in einem Schmidtfernrohr als Anwendungsbeispiel für die Diskussion einer gebrochen-rationalen Funktion mit Parameter. Dynamisches Arbeitsblatt von Stefan Rauscher.

• kubischer Spline Visualisierung eines kubischen Splines. Dynamisches Arbeitsblatt von E. Kronabel.

• zweidimensionaler kubischer Spline Visualisierung eines zweidimensionalen kubischen Splines. Dynamisches Arbeitsblatt von E. Kronabel.